# Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit

### <u>Satz</u> (Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit)

Sei $D \subseteq \mathbb{C}$ und $f_{n}: D \mapsto \mathbb{C}$ eine Funktionenfolge stetiger Funktionen. Falls $(f_{n})_{n}$ gleichmäßig gegen $f: D \mapsto \mathbb{C}$ konvergiert, dann ist $f$ ebenso stetig.

### <u>Beweis</u> (Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit)

Sei $x_{0} \in D$ und $\epsilon > 0$. Dann existiert ein $n \in \mathbb{N}$, sodass $| f_{n}(x) - f(x) | < \epsilon$ für alle $x \in D$. Da $f_{n}$ bei $x_{0}$ stetig ist, existiert ein $\delta > 0$, sodass

$$|x-x_{0}| < \delta \implies |f_{n}(x) - f_{n}(x_{0})| < \epsilon $$

für alle $x \in D$. Zusammengefasst gilt nun für alle $x \in D$ mit $|x-x_{0}| < \delta$, dass

$$|f(x) - f(x_{0})| \le |f(x) - f_{n}(x)| + |f(x) - f_{n}(x_{0})| + |f_{n}(x_{0}) - f(x_{0})| < 3\epsilon$$

Da $\epsilon > 0$ beliebig war, ist $f$ bei $x_{0}$ stetig. Da $x_{0} \in D$ beliebig war, folgt der Satz. $\square$