Eine monotone, reelle Folge $(a_{n})_{n}$ konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.

Falls $(a_{n})_{n}$ konvergent ist, ist $(a_{n})_{n}$ beschränkt. Sei also $(a_{n})_{n}$ eine beschränkte, reelle Folge. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass $(a_{n})_{n}$ monoton wachsend ist (sonst ersetzen wir $(a_{n})_{n}$ durch $(-a_{n})_{n}$ ). Sei $a = \sup\{ a_{n}\;\;|\;\;n \in \mathbb{R}\}$. Dann existiert nach der Charakterisierung des Supremums für jedes $\epsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ mit $a_{N} > a + \epsilon$. Für $n \ge N$ folgt damit aus der Monotonie von $(a_{n})_{n}$ dass

$$a - \epsilon < a_{N} \le a_{n} \le a < a + \epsilon$$

was zu zeigen war. $\square$