Für jede konvergente Teilfolge $(a_{n_{k}})_{k}$ einer beschränkten, reelen Fole $(a_{n})$ gilt

$$\liminf_{n \to \infty} a_{n_{k}} \in [\liminf_{n \to \infty} a_{n}, \limsup_{n \to \infty} a_{n}]$$

Des weiteren existiert eine konvergente Teilefolge $(a_{n_{k}})_{k}$ mit $\lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} = \limsup_{n \to \infty} a_{n}$ und eine konvergente Teilfolge $(a_{m_{k}})_{k}$ mit $\lim_{k \to \infty} a_{m_{k}} = \liminf_{n \to \infty} a_{n}$.

Sei $(a_{n_{k}})_{k}$ eine konvergente Teilfolge von $(a_{n})_{n}$, $I = \liminf_{n \to \infty} a_{n}$, $S = \limsup_{n \to \infty} a_{n}$ und $\epsilon > 0$. Dann gibt es nach der ersten Eigenschaft des Limes Superior ein $N \in \mathbb{N}$, sodass

$$a_{n} \le S + \epsilon$$

für alle $n \ge N$. Wenn nötig können wir $N$ noch so groß wählen, sodass ebenso gilt

$$a_{n} \ge I - \epsilon$$

für alle $n \ge N$.

Für den Limes der Folge $(a_{n_{k}})_{k}$ ergibt sich daraus

$$I - \epsilon \le \lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} \le I + \epsilon$$

Da $\epsilon > 0$ beliebig war und $\lim_{k \to \infty} a_{n_{k}}$ nicht von $\epsilon$ abhängt, ergibt sich daraus $I \le \lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} \le S$, wie im Satz behauptet wurde. $\square$