Linearität des Integrals der Treppenfunktion

Satz (Linearität des Integrals der Treppenfunktion)

Die nicht-leere Menge

\[\mathcal{TF}([a,b]) = \{f \in \mathcal{F}([a,b])\;\;|\;\; f \text{ ist eine Treppenfunktion}\}\]

der Treppenfunktionen auf dem Intervall \([a,b]\) ist ein Untervektorraum des Vektorraums \(\mathcal{F}([a,b])\) der reelwertigen Funktionen auf \([a,b]\). Des weiteren ist die Abblidung \(\int: \mathcal{TF}([a,b]) \mapsto \mathbb{R}\) linear. Das heißt, dass für alle \(f,g \in \mathcal{TF}([a,b])\) und \(s \in \mathbb{R}\) ist \(f + g \in \mathcal{TF}([a,b])\), \(sf \in \mathcal{TF}([a,b])\) und es gilt

\[\int_{a}^{b}(f+g) ,dx = \int_{a}^{b}f,dx + \int_{a}^{b}g,dx\] \[\int_{a}^{b}(sf),dx = s \int_{a}^{b}f,dx\]

Beweis (Linearität des Integrals der Treppenfunktion)

Falls \(\zeta_{f}\) eine Zerlegung in Konstanzintervalle von \(f\) und \(\zeta_{g}\) eine Zerlegung in Konstanzintervalle von \(g\) ist, dann existiert eine gemeinsame Verfeinerung

\[\zeta = {a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n-1} < x_{n} = b }\]

von \(\zeta_{f}\) und \(\zeta_{g}\). Dies ist eine Zerlegung in Konstanzintervalle von \(f\) und \(g\). Seien \(c_{1}, ..., c_{n}\) respektive \(d_{1},...,d_{n} \in \mathbb{R}\) die Konstanzintervalle von \(f\) respektive \(g\) bezüglich der Zerlegung \(\zeta\), dass heißt, es gilt

\[\forall x\in (x_{k-1}, x_{k}): f(x) = c_{k} \text{ und } g(x) = d_{k}\]

für alle \(k \in \{1,...,n\}\). Insbesondere gilt dies für alle \(k \in \{1,...,n\}\)

\[\forall x\in (x_{k-1}, x_{k}): f(x) + g(x) = c_{k} + d_{k};;und;;(sf)(x)= sc_{k}\]

und wir erhalten \(f+g, sf \in \mathcal{TF([a,b])}\). Des weiteren gilt

\[\int_{a}^{b} (f+g)(x),dx = I(f+g, \zeta) = \sum_{k=1}^{n} (c_{k} + d_{k})\Delta x_{k}\] \[= I(f,\zeta) + I(g,\zeta) = \int_{a}^{b} f,dx + \int_{a}^{b} g,dx =\]

und ebenso

\[\int_{a}^{b} (sf)(x),dx = I(sf,\zeta) = \sum_{k=1}^{n}sc_{k}\Delta x_{k} = s\sum_{k=1}^{n}c_{k}\Delta x_{k}\] \[= sI(f,\zeta) = s\int_{a}^{b} f,dx =\]