Die nicht-leere Menge

$$\mathcal{TF}([a,b]) = \\{f \in \mathcal{F}([a,b])\\;\\;|\\;\\; f \text{ ist eine Treppenfunktion}\\}$$

der Treppenfunktionen auf dem Intervall $[a,b]$ ist ein Untervektorraum des Vektorraums $\mathcal{F}([a,b])$ der reelwertigen Funktionen auf $[a,b]$. Des weiteren ist die Abblidung $\int: \mathcal{TF}([a,b]) \mapsto \mathbb{R}$ linear. Das heißt, dass für alle $f,g \in \mathcal{TF}([a,b])$ und $s \in \mathbb{R}$ ist $f + g \in \mathcal{TF}([a,b])$, $sf \in \mathcal{TF}([a,b])$ und es gilt

$$\int_{a}^{b}(f+g) \,dx = \int_{a}^{b}f\,dx + \int_{a}^{b}g\,dx$$

$$\int_{a}^{b}(sf)\,dx = s \int_{a}^{b}f\,dx$$

Falls $\zeta_{f}$ eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $f$ und $\zeta_{g}$ eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $g$ ist, dann existiert eine gemeinsame Verfeinerung

$$\zeta = \{a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n-1} < x_{n} = b \}$$

von $\zeta_{f}$ und $\zeta_{g}$. Dies ist eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $f$ und $g$. Seien $c_{1}, ..., c_{n}$ respektive $d_{1},...,d_{n} \in \mathbb{R}$ die Konstanzintervalle von $f$ respektive $g$ bezüglich der Zerlegung $\zeta$, dass heißt, es gilt

$$\forall x\in (x_{k-1}, x_{k}): f(x) = c_{k} \text{ und } g(x) = d_{k}$$

für alle $k \in \{1,...,n\}$. Insbesondere gilt dies für alle $k \in \{1,...,n\}$

$$\forall x\in (x_{k-1}, x_{k}): f(x) + g(x) = c_{k} + d_{k}\;\;und\;\;(sf)(x)= sc_{k}$$

und wir erhalten $f+g, sf \in \mathcal{TF([a,b])}$. Des weiteren gilt

$$\int_{a}^{b} (f+g)(x)\,dx = I(f+g, \zeta) = \sum_{k=1}^{n} (c_{k} + d_{k})\Delta x_{k}$$

$$= I(f,\zeta) + I(g,\zeta) = \int_{a}^{b} f\,dx + \int_{a}^{b} g\,dx =$$

und ebenso

$$\int_{a}^{b} (sf)(x)\,dx = I(sf,\zeta) = \sum_{k=1}^{n}sc_{k}\Delta x_{k} = s\sum_{k=1}^{n}c_{k}\Delta x_{k}$$

$$= sI(f,\zeta) = s\int_{a}^{b} f\,dx =$$