Sei $U \subseteq \mathbb{R}^n$ offen und $f: U \mapsto \mathbb{R}$ differenzierbar. Sei $x_0 \in U$ und $h \in \mathbb{R}^n$. Falls $x_0 + th \in U$ für alle $t \in [0,1]$, dann gilt

$$f(x_0+h)- f(x_0) = D_\varepsilon f(h) = \partial_hf(\varepsilon) $$

für ein $\varepsilon = x_0 + t_\varepsilon h$ mit $t_\varepsilon \in (0,1)$.

Wir bemerken, dass die Ableitung des geraden Weges $t \in \mathbb{R} \mapsto x_0 + th$ für vorgegebene $x_0,h \in \mathbb{R}^n$ bei jedem $t$ gleich $h$ ist. Daher erfüllt die Funktion

$$g : t \in [0,1] \mapsto f(x_0+th) \in \mathbb{R}$$

auf Grund der Kettenregel alle vorraussetzungen des eindimensionalen Mittelwertsatzes.

Also existiert ein $t_\varepsilon \in (0,1)$ mit $g(1) - g(0) = g'(t_\varepsilon) = D_{x_0+t_\varepsilon h} f(h)$ nach der Kettenregel und somit

$$f(x_0+h) -f (x) = g(1)-g(0) = g'(t_\varepsilon) = D_\varepsilon f(h)$$

für $\varepsilon = x_0 + t_\epsilon h. \square$